Klucz do mikrokomputera

Przedstawione na fotografii urządzenie jest specjalnym zestawem automatów realizujących podstawowe funkcje logiczne, przeznaczonym dla celów dydaktycznych. Zestaw został zaprojektowany i wykonany w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego przez doc. dr Lesława Szczerbą i autora artykułu zamieszczonego na sąsiedniej stronie. Za pomocą przedstawionego zestawu można budować różnorodne układy logiczne modelujące pracę podzespołów maszyn cyfrowych, sprawdzać definicje funkcji oraz podstawowe prawa logiki a nawet montować sieci logiczne zastępujące partnera w prostych grach liczbowych lub sterujące wybrane procesy. Dowolny układ logiczny buduje się przez składanie z elementarnych klocków-modułów i odpo­wiednie łączenie modułów w sieć logiczną.

Moduły, umieszczone na postumencie operacyjnym zesta­wu, połączone są w sieć logiczną modelującą pracę sumato­ra binarnego o dwóch pozycjach.

Wszystkich Czytelników, którzy chcieliby zbudować wybra­ny układ lub model minikomputera czy też wykorzystać w innym celu podane w artykule wiadomości, zapraszamy do wspólnych rozważań nad zasadami działania podstawo­wych elementów maszyny cyfrowej.

TAK I NIE - KLUCZ DO MINIKOMPUTERA

W ostatnim czasie na rynek światowy zaczęła się prawdziwa inwazja miniaturowych maszyn mate­matycznych, potocznie zwanych minikomputera­mi. Wprowadzono całą masę różnego rodzaju i o różnym przeznaczeniu minikomputerów, służą­cych niemal w każdej dziedzinie życia, poczynając od domowej kuchni, a skończywszy na instytucie naukowym.

Niewielkie rozmiary, błyskawiczne wykonywa­nie operacji wielokrotnie przewyższające możliwoś­ci człowieka, wysoki poziom estetyczny obudowy i niewątpliwa przydatność praktyczna powodują, że minikomputery są towarem cenionym i chętnie nabywanym, chociaż nie zawsze jest to spowodowa­ne rzeczywistymi potrzebami użytkowników. W niektórych krajach minikomputer, obok szero­kiego zastosowania praktycznego, pełni uboczną rolę zabawki dla dzieci.

Dzieje maszyn matematycznych, a zatem i mini­komputerów, sięgają starożytności. Minikomputer, nazywany też kalkulatorem, nic różni się w swej istocie od popularnego arytmometru mechaniczne­go czy najzwyklejszych w święcie liczydeł. Swoją Współczesną postać minikomputer zawdzięcza naj­nowszym osiągnięciom techniki - w szczególności rozwojowi elektroniki i technologii półprzewodni­ków. Jednak zasada działania tej maszyny opiera się na znanych od dawna podstawach matematycz­nych.

Tak więc matematyka, elektronika i miniatury­zacja, wczarowane w pudełeczko z łatwością miesz­czące się na dłoni, czynią z nieporęcznych liczydeł wspaniały', nieoceniony wprost instrument pod wa­runkiem, że tą dłonią kieruje odpowiedni umysł. Niestety, zdarzają się też i ignoranci, którzy urzą­dzają próby wyścigów w liczeniu z maszynami matematycznymi. Próba prześcignięcia w liczeniu minikomputera, o ile nie zna się szczegółów kon­strukcyjnych urządzenia, najczęściej przynosi wia­domy i smutny rezultat. Urządzane jeszcze od czasu do czasu zawody szachowe człowiek - maszyna, jeżeli nie służą celom badawczym (ale czy mogą, jeśli są to zawody?) są chybione w samym założeniu. Mistrzowie szachowi niechętnie poddają się takim próbom, ponieważ doskonale o tym wiedzą, że kiedyś maszyna musi wygrać. Jest to tylko kwestia odpowiedniego programu dla odpowiedniej maszy­ny. Co innego, jeżeli na polu szachowym jako partnerzy do gry potykają się dwie, różne w kon­strukcji, maszyny. Bo pomyślmy, czy warto urzą­dzać wyścigi ze sprawnym samochodem na auto­stradzie albo też czy konkurs siłowy człowiek - dźwig może być zajmującym zajęciem? Niewątpli­wie jednak gra z maszyną dostarcza wiele emocji, podobnie jak przypatrywanie się sztuczkom zręcz­nego iluzjonisty. Kiedy jednak jakiś bystry obser­wator spostrzeże istotne momenty, natychmiast czarodziejski kapelusz iluzjonisty zamienia się w schowek, a lśniące rękawy fraka stają się pełne piłeczek, kolorowych chustek i tuzina innych

Wnętrze elementarnego klocka-modułu, który jest jednym z elementów urządzenia realizującego podstawowe funkcje logiczne (patrz fot. na sąsiedniej stronie)

przedmiotów. Podobnie w automatach do gier i w innych maszynach znajdują się zaszyfrowane przepisy postępowania, zwane algorytmami, których nieznajomość jest głównym źródłem wszel­kiego rodzaju emocji.

Tych kilka słów wstępu ma na celu umocnienie Czytelnika w przekonaniu, że jak dotychczas, żadna maszyna nie jest niczym innym, jak tylko maszyną w pełnym tego słowa znaczeniu, nawet jeśli to jest maszyna matematyczna.

Minikomputer jest znacznie mniej skomplikowa­ny od przeciętnej, stacjonarnej maszyny cyfrowej, jest właściwie mało rozbudowanym arytmometrem maszynowym, który wymaga sterowania ręcznego. Samodzielna budowa minikomputera odpowiadają­cego klasą konstrukcjom fabrycznym jest praktycz­nie nieopłacalna, chyba że dysponuje się gotowymi podzespołami. Można jednak z powodzeniem wy­konać (i to z pełnym zrozumieniem) uproszczony model minikomputera wykonującego operacje na liczbach naturalnych. Czytelnicy, których zaintere­suje ten artykuł, będą mieli okazję przypomnieć sobie niektóre pojęcia matematyczne i sporo pomaj- sterkować podczas przetwarzania tych pojęć w dzia­łanie elementów maszyn cyfrowych.

Pozycyjne układy liczenia

Wszyscy znamy dziesiątkowy układ liczenia, któ­rym posługujemy się w życiu codziennym. Układ dziesiątkowy, nazywany też systemem dziesiątko­wym, ma dziesięć znaków do zapisywania liczb, mianowiecie: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby zapisane w systemie dziesiątkowym mają charakte­rystyczny podział na pozycje, zwane też rzędami, np. liczba 101 ma trzy rzędy: rząd jedności, rząd dziesiątek i rząd setek. Każda liczba w tym systemie liczenia daje się zapisać w postaci odpowiedniego ciągu znaków, z których każdy zajmuje odpowied­nią pozycję, przy czym dziesięć jednostek niższej pozycji (rzędu) daje jedną jednostkę pozycji bezpo­średnio wyższej. Ogólnie przyjęty sposób zapisu liczb w pozycyjnym, dziesiątkowym układzie licze­nia ustala, że rząd jedności znajduje się z prawej, skrajnej strony ciągu znaków (cyfr) reprezentują­cych daną liczbę, rząd dziesiątek - na lewo od rzędu jedności, bezpośrednio po nim, rząd setek-na lewo od rzędu dziesiątek bezpośrednio po nim itd

Cyfry są to symbole graficzne, znaki, służące do przedstawiania liczb i w żadnym razie nie należy utożsamiać cyfry z liczbą.

Liczba jest pojęciem czysto abstrakcyjnym! Następujący przykład pozwoli lepiej zrozumieć tę subtelność, szczególnie złudną dla układu dzie­siątkowego.

Zapiszemy ciąg cyfr przedstawiających liczbę - 234. Umówmy się teraz, że zmieniamy symbole graficzne cyfr. Niech cyfrę 2 zastąpi znak ★ (gwiaz­dka), niech cyfrą 3 będzie O (kółko) i odpowiednio cyfrą 4 - cyfra 1. Jeżeli zapiszemy liczbę 234 w nowym systemie znakowania, tograficznie przed­stawi się ona w zupełnie innej postaci, a mianowicie ★ O l. Rozumiemy jednak, że chodzi dokładnie o tę samą liczbę. Innym przykładem może być słowny zapis tej liczby - dwieście trzydzieści cztery. Znowu mamy do czynienia z tą samą liczbą, chociaż jej zapis wygląda zupełnie inaczej.

Mówiąc niezbyt precyzyjnie: liczba jest poję­ciem, które powstaje i jest w naszym umyśle, natomiast to, co zapisujemy na tablicy czy na papierze, to nic innego jak trochę kredy czy tuszu ukształtowane według jakiejś umowy i wywołujące w naszej wyobraźni pojęcie liczby.

Oprócz dziesiątkowego, pozycyjnego układu li­czenia stosuje się jeszcze inne pozycyjne układy liczenia. Dla maszyn matematycznych najbardziej odpowiednim układem liczenia okazał się pozycyj­ny układ liczenia o podstawie dwa, zwany krótko układem dwójkowym lub binarnym. Zanim jed­nak przejdziemy do układu dwójkowego, poznajmy jeszcze inny sposób zapisu liczby.

Weźmy liczbę 325. Przedstawmy tę liczbę w po­staci sumy 300 + 20 + 5, a następnie w postaci 3•10² + 2•10¹ + 5•10⁰. W podobny sposób można przedstawić dowolną liczbę np. 3241.

3241 = 3000 + 200 + 40 + 1 = 3 • 10³ + 2 • 10² + ... + 4 • 10¹ + 1 • 10⁰. Jak widzimy, takie rozwinięcie liczby wymaga wypisania kolejnych potęg podstawy liczenia, począwszy od potęgi zerowej, wymnożenia tych potęg odpowiednio przez liczbę jedności, dziesiątek, setek itd. i następnego zsumowania po­wstałych iloczynów. Powyższy sposób zapisu zna­komicie ułatwia tabelka:

pozycje(rzędy)

Maszyna do gry „NIM". Wkładając wtyczki maszyny w odpowiednie gniazda można uzyskać zapis liczby w dowolnym układzie liczenia

Nad każdym polem znajdują się kolejno wzrastające potęgi podstawy liczenia, począwszy od prawej strony. Jeżeli teraz wpiszemy daną liczbę w pola, umieszczając cyfry na odpowiednich pozycjach, to z łatwością dokonamy rozwinięcia:

2•10² + 3•10¹ + 4•10⁰ = 200 + 30 + 4 = 234

Możemy też. posłużyć się innymi cyframi, z przytoczonego wyżej przykładu, wpisując nowe symbole cyfr w odpowiednie pola i pozostawiając normalne znakowanie potęg:

★•10² + O•10¹ + I •10⁰ = ★O1 = 234

★⥧ 2; O⥧ 3; 1⥧4

Zajmijmy się teraz wspomnianym układem dwójkowym. Narysujmy tabelkę i nad każdym z jej pól umieśćmy odpowiednio kolejne potęgi liczby dwa:

Zauważymy, że 2° = 1 i odpowiednio 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8 itd.

W układzie dwójkowym stosuje się tylko dwie cyfry, cyfrę 1 i cyfrę 0, których używa się w takim samym znaczeniu, jak w układzie dziesiątkowym. Zapiszmy liczbę ,,jeden” w układzie dwójkowym: 

1•2⁰ = 1•1 = 1

Zapiszmy teraz liczbę ,,dwa” w układzie dwójkowym.

1•2¹ + 0•2⁰ = 1•2+0•1 = 2

Czyli zapis 10 w układzie dwójkowym jest równoważny zapisowi 2 w układzie dziesiątkowym.

10 (dwójkowo) = 2 (dziesiątkowo)

Zanim przystąpimy do zapisywania innych liczb w układzie dwójkowym, umówmy się, że każdą liczbę zapisaną w tym układzie będziemy, przynajmniej początkowo, oznaczać indeksem:

10₍₂₎ = 2

gdzie (2) indeks oznaczający układ liczenia.

Liczba zapisana bez indeksu jest liczbą zapisaną dziesiątkowo!

Zapiszmy liczbę trzy w układzie dwójkowym

11₍₂₎ = 3

1•2¹ + 1•2⁰ = 1•2+1•1 = 3

Podobnie zapiszemy liczbę 4:

100₍₂₎ = 4

1•2² +1•0¹ + 0•2⁰ = 1•4 + 0•2 + 0•1 = 4

Oto liczby od zera do dziesięciu zapisane w układzie dwójkowym i dziesiątkowym:

0₍₂₎ = 0

1₍₂₎ = 1

10₍₂₎ = 2

11₍₂₎ = 3

100₍₂₎ = 4

101₍₂₎ = 5

110₍₂₎ = 6

111₍₂₎ = 7

1000₍₂₎ = 8

1001₍₂₎ = 9

1010₍₂₎ = 10

Dla wprawy zapiszmy kilka liczb w trójkowym układzie liczenia, gdzie używamy trzech cyfr: 0, 1, 2

102₍₃₎ = 11

1•3² +0•3¹ + 2•3⁰ = 1•9 + 0•3 + 2•1 = 11

Liczby od zera do dziesięciu zapisane w układzie trójkowym, dwójkowym i dziesiątkowym:

0₍₃₎ = 0₍₂₎ = 0

₁₍₃₎ = 1₍₂₎ = 1

₂₍₃₎ = 10₍₂₎ = 2

10₍₃₎ = 11₍₂₎ = 3

₁₁₍₃₎ = 100₍₂₎ = 4

12₍₃₎ = 101₍₂₎ = 5

20₍₃₎ = 110₍₂₎ = 6

21₍₃₎ = 111₍₂₎ = 7

22₍₃₎ = 1000₍₂₎ = 8

100₍₃₎ = 1001₍₂₎ = 9

101₍₃₎ = 1010₍₂₎ = 10

Rozwińmy jedną z liczb, np. 9 w układzie dwójkowym, trójkowym i dziesiątkowym:

Konstruktorzy maszyn matematycznych wybrali dwójkowy układ liczenia ze względów czysto praktycznych. Próby zbudowania maszyn cyfrowych pracujących w układzie dziesiątkowym wykazały niemal zupełną nieprzydatność tego systemu liczenia dla operacji maszynowych. Właśnie ta przyczyna, a nie chęć „zanudzenia” zapalonych maisterkowiczow skłoniła nas do skrótowego ujęcia ogólnych zasad liczenia. Czytelnicy, którzy chcą nieco szerzej spojrzeć na układy liczenia, powinni przeczytać artykuł „Systemy liczbowe” zamieszczony w numerze 12 „MT” z ubiegłego roku. Równocześnie zwracamy uwagę tych Czytelników, którzy pierwszy raz zetknęli się z układem dwójkowym, że wskutek długotrwałego używania układu dziesiątkowego występują początkowo pewne trudności w przyjęciu nowego systemu liczenia. Najlepszym sposobem pokonania ewentualnych trudności jest konstruowanie dowolnych układów liczenia, np. jedenastkowego - przy czym trzeba wynaleźć nową cyfrę oznaczającą liczbę 10.

Powodem szerokiego zastosowania w maszynach matematycznych dwójkowego systemu liczenia jest łatwy sposób przedstawiania liczby przez sygnały elektryczne. Cyfrze 1 odpowiadać może np. występowanie określonego napięcia, cyfrze zero - brak napięcia.

Przekształcanie sygnałów

Powiedzieliśmy wcześniej, że znaki w systemie dwójkowym (binarnym) mogą być przedstawiane w maszynie matematycznej przez pewne wartości napięcia. Przystąpmy teraz do zaprojektowania i zbudowania układu zamieniającego znaki (sygnały) czytelne dla maszyny w sygnały czytelne dla człowieka. Zagadnienie można rozwiązać na wiele sposobów. Jednym z nich, który tutaj wykorzystamy, jest zamiana sygnałów napięciowych na sygnały świetlne. Jako źródło napięcia wykorzystamy suche ogniwo. Do podawania napięcia na wskaźnik świetlny posłużą dowolne wyłączniki o dwóch wyraźnie rozróżnialnych położeniach. Wskaźnikami świetlnymi będą zwykłe żaróweczki od latarki kieszonkowej. Elementarny obwód pełniący oczekiwaną funkcję będzie się zatem składać ze źródła prądu, wyłącznika i żarówki. Schemat elektryczny obwodu przedstawia rys. 1. Jest to nasz „stary znajomy” - podstawowy obwód elektryczny!

Zaświecenie żarówki -(rys. 1a), następujące po zamknięciu obwodu wyłącznikiem, oznaczać będzie cyfrę jeden. Jej zgaszenie (rys. 1 b), następujące po otwarciu obwodu, odpowiadać będzie cyfrze zero. (Równie dobrze można przyjąć ustalenie odwrotne - cyfrze jeden odpowiada brak świecenia, a cyfrze zero świecenie żarówki). Kolejność przekształcania sygnału pokazuje rys. 2. Zauważmy, że ciśnienie wywierane na wyłącznik (rys. 2a) jest formą sygnału. Zauważmy też, że zarówno pozycja zero - wyłącznik rozłączony (rys. 2b), jak i pozycja jeden - wyłącznik załączony, są pewnymi stanami, które niosą jakąś informację; o czymś nam mówią.

Sygnały odznaczające się tylko dwoma stanami znaczącymi będziemy nazywać sygnałami binarnymi (dwójkowymi). Jeden ze stanów znaczących oznaczamy najczęściej przez zero, a drugi przez jeden.

Dla naszych potrzeb wystarczy w zupełności zgrupowanie w układ pięciu obwodów z rys. 1. Schemat takiego układu przedstawia rys. 3. Na rys. 4 widać przykład wykonania płytki dla zamocowania wyłączników i żarówek. Usytuowanie przełączników i żarówek odpowiada stosowanej przez nas tabelce do zapisywania liczb w systemie binarnym. Posługując się własnoręcznie zbudowanym układem możemy dobrze przećwiczyć dwójkowe zapisywanie i odczytywanie liczb.

Przykład:

Zapis liczby 101₍₂₎ wykonany na naszym układzie przedstawia rys. 5. Kolorem żółtym oznaczono jedynki - kolorem czarnym oznaczono zera.

Uwaga: w zastosowanym układzie występują zera także przed zapisaną liczbą, o ile ilość pozycji liczby zera stojące pr/ed liczbą. Ciemne pole tabelki nie absorbuje naszej uwagi. Pamiętajmy wszakże o tym, żeby nie pomijać zer występujących na prawo od świecących jedynek.

est mniejsza od ilości pozycji układu. Nie jest to żadną przeszkodą, ponieważ wiemy, że można wypisać dowolnie dużo zer przed liczbą, a mimo to liczba się nie zmieni, np. 101 = 0101 = 00101 = 000101 itd. Ponadto, jeżeli zastosujemy wyświetlanie jedynek, to odczytując liczby ze wskaźnika świetlnego z przyzwyczajenia odrzucimy wszystkie

Wprowadźmy teraz pewną modyfikację do naszego układu polegającą na znacznym rozsunięciu wyłączników i żarówek. Zrezygnujemy oczywiście ze wspólnej płytki. W tym celu można przeciąć płytkę na pół i przygotować kabelek połączeniowy skręcony z sześciu drucików o średnicy 0,15-0,20 mm, izolowanych bawełną lub jedwabiem. Długość kabelka może wynosić kilka metrów. Tak przygotowany układ posłuży do przesyłania zaszyfrowanych informacji na odległość ograniczoną długością kabelka połączeniowego. Zanim to jednak nastąpi, musimy najpierw ustalić jakiś szyfr. Nic prostszego, jak przygotować własną koncepcję szyfru.

Dysponując pięcioma pozycjami binarnymi możemy zapisać 32 różniące się wzajemnie od siebie liczby. Dla czterech pozycji otrzymamy 16 możliwości, dla trzech 8, dla dwóch 4 i dla jednej pozycji 2 możliwości.

Przyporządkujmy różnym literom alfabetu łacińskiego odpowiednie liczby, tak by dokładnie jednej liczbie odpowiadała dokładnie jedna litera. Właśnie w tym momencie należałoby stosownie pomyśleć nad szyfrem, tzn. przyporządkowaniem. Szyfr nie powinien być łatwy do odczytania dla osób nie znających „klucza”, tj. przyporządkowania. Szyfr powinien być także ekonomiczny - niektórych liter używa się znacznie częściej niż innych, stąd wynika oczywisty wniosek dla układającego szyfr. Ułożenie dobrego szyfru może świadczyć o zdolności do efektywnego logicznego rozumowania.

Dla przykładu podajemy pewne przyporządkowanie liczbom binarnym wybranych liter alfabetu. Chcemy podkreślić, że szyfr jest przypadkowy, ilustrujący sposób postępowania, i źle zrobi ten Czytelnik, który zechce użyć tego szyfru jako wzoru. Dodamy tylko pewną wskazówkę. Dla zaszyfrowania liter alfabetu, cyfr i innych znaków nie wystarczą 32 kombinacje. Trzeba przewidzieć pewne kombinacje dla sygnalizowania nadawanych znaków, np. 11111 - „teraz nastąpi nadawanie liter”, 00000 - „teraz nastąpi nadawanie znaków cyfrowych"

Od razu staje się widoczna możliwość przesyłania informacji za pomocą różnych kombinacji sygnałów binarnych. W pewnym sensie nasze urządzenie można traktować jako n-razy zwielokrotniony telegraf Morse’a. Dla prowadzenia łączności dwukierunkowej wystarczy sporządzić dwa identyczne układy.

Innym układem, umożliwiającym usprawnienie organizacji życia np. na obozie harcerskim, jest układ do wysyłania zaszyfrowanych rozkazów.

W namiocie komendanta obozu znajduje się układ, jak na rys. 3, uzupełniony kabelkiem biegnącym przez poszczególne namioty i posterunek wartowniczy. W każdym z namiotów i na posterunku wartowniczym instaluje się żarówki pracujące odpowiednio równolegle z żarówkami nadajnika komendanta obozu. Schemat elektryczny układu przedstawia rys. 6. Dla przesyłania rozkazów wystarczą trzy, najwyżej cztery pozycje binarne. Uzupełnieniem układu powinien być dźwiękowy obwód alarmowy z możliwością uruchamiania przez wartownika lub komendanta. Zasadą jest stosowanie prostych kombinacji sygnałów (mało pozycji) dla szczególnie ważnych rozkazów.

Zainteresowani Czytelnicy z łatwością dostosują urządzenie oraz szyfr do swoich potrzeb.

Wszędzie tam, gdzie występuje konieczność przywoływania określonych osób, można używać podobnych rozwiązań z odpowiednio dostosowanym szyfrem.

Rys. 7. Kodowana karta maszyny cyfrowej. Niżej - perforowana taśma stosowana w jednej z pierwszych polskich maszyn matematycznych

W maszynach cyfrowych stosuje się też pewne szyfry, nazywane kodami. Właśnie potrzeba zrodziła mnóstwo wszelkiego rodzaju kodów, w tym

kodów stosowanych w maszynach matematycznych. Na rys. 7 widzimy oryginalną kartę z zakodowaną informacją oraz fragment kodowanej taśmy o pięciu pozycjach binarnych, stosowanej w jednej z pierwszych polskich maszyn matematycznych. Otworki o mniejszej średnicy służyły do prowadzenia taśmy.

Do maszyn cyfrowych najczęściej wprowadza się informacje zawarte w tzw. programie, zakodowane na taśmie perforowanej. Maszyna przetwarza te informacje zgodnie z programem i drukuje, a raczej dziurkuje według kodu inną taśmę, z której odczytujemy informacje wyjściowe.

Minikomputer, chociaż jest maszyną matematyczną, nie ma na ogół takich możliwości. Tylko najdroższe modele są wyposażone w specjalne karty z przygotowanym i zakodowanym programem, który jest realizowany automatycznie po wsunięciu karty do specjalnego czytnika. W standardowych rozwiązaniach minikalkulatorów wprowadzanie programu odbywa się ręcznie, przez manipulację odpowiednimi przyciskami. Konstruktorzy zadbali o to, żeby takie ręczne programowanie kalkulatorów było możliwie proste, w miarę możliwości zbliżone do normalnych zapisów poszczególnych operacji matematycznych. Natomiast same obliczenia i związane z nimi operacje logiczne kalkulator wykonuje automatycznie.

W następnym odcinku artykułu zajmiemy się, między innymi, elementami logiki maszyn cyfrowych i ich praktycznymi zastosowaniami.

Włodzimierz Augustyniak
(MT 1977)

(Część II)
W pierwszej części artykułu zajmowaliśmy się dwójkowym systemem liczenia. Stwierdziliśmy, że jednym z powodów zastosowania w maszynach cyfrowych dwójkowego systemu liczenia jest szcze­gólnie wygodny sposób reprezentacji liczb dwójkowych, za pomocą ciągów sygnałów napięciowych. Sygnały w takich ciągach miały wartość napięcia równą zeru albo wartość ustaloną. Sygnałom o wartości zera przyporządkowaliśmy symbol 0, a sygnałom o pewnym, ustalonym napięciu symbol I. Wskazaliśmy też możliwość reprezentowania za pomocą ciągów zerojedynkowych informacji, w zależności od przyjętego sposobu kodowania.
Okazuje się, że symbole 0 i 1 mogą znaleźć zastosowanie przy opisywaniu logiki dwuwartościo wej. Opierając się na prawach logiki można budować sieci elektryczne wykonujące czynności logiczne. Złożone sieci elektryczne, automatycznie sterowane sygnałami zerojedynkowymi, stanowią "mózg" każdej maszyny cyfrowej.

Sieci elektryczne

W życiu codziennym spotykamy wiele prostych i bardziej złożonych sieci elektrycznych wykonujących czynności logiczne. Majsterkowicze niejednokrotnie budowali proste układy takich sieci i niektórzy, być może, robili to w sposób zupełnie intuicyjny.
Spróbujmy teraz wspólnie przeanaliztiwać działanie zasadniczych typów sieci.

Połączenie szeregowe

Weźmy dwa wyłączniki dwustanowe, ogniwo i żaróweczkę. Zbudujmy obwód, jak na rys. I. Rozpatrzmy działanie tego obwodu.
Po zamknięciu wyłącznika I i wyłącznika II żarówka świeci. Pozostałe możliwe położenia wyłączników nie spowodują świecenia żarówki. Opiszmy działanie układu w tabelce i przedstawmy sytuacje w niej opisane (rys. 2).
Umówmy się teraz, że stanowi otwarcia wyłącznika przypiszemy symbol 0, a stanowi zamknięcia symbol 1; same wyłączniki zaś oznaczymy symbolami: wyłącznik I symbolem X₁, wyłącznik II symbolem X₂. Żarówkę oznaczymy symbolem Y, a jej stany symbolami: 0 - nie świeci, 1 - świeci. Wobec powyższej umowy nasza tabelka przyjmie taką postać, jak na rys. 3. Widzimy więc, że jeśli sian x1 jest 1 i stan x2 jest 1, to wtedy stan Y też jest 1. W pozostałych trzech przypadkach stan Y jest 0.
Załóżmy, że wypowiadamy zdanie złożone z dwóch zdań pojedynczych połączonych spójnikiem „i” oraz że wypowiadane przez nas zdania pojedyncze mogą być fałszywe albo prawdziwe. Niech fałsz będzie oznaczony przez 0, a prawda przez 1. Zdania prawdziwe powodują zamknięcie odpowiadającego im wyłącznika. Zdania fałszywe nie mają takiej mocy. Jeżeli wypowiemy teraz dowolne, zgodne z założeniami, zdanie dwuczłonowe, to sieć z rys. 1 odpowie świeceniem żarówki, gdy wypowiemy prawdę, żarówka nie będzie świecić, gdy wypowiemy fałsz.

Przykład
"Lis jest czworonogiem i człowiek jest czworonogiem" - całe zdanie fałszywe. Pierwsze zdanie pojedyncze prawdziwe - 1. Drugie zdanie pojedyncze fałszywe - 0.  1 i 0 daje 0; stan Y jest 0 - żarówka nie świeci.
„Lis test czworonogiem i kol jest czworonogiem”- cale zdanie prawdziwe. Oba zdania składowe są prawdziwe - stan Y jest 1 - żarówka świeci.
Każde wyrażenie, któremu można przypisać prawdę albo fałsz, nazwiemy zdaniem. Wartością logiczną zdania może być prawda (ozn. 1) albo fałsz fozn. 0).
W logice spójnik „i” zastępuje symbol ᴧ  .

Wyrażenie mające postać x₁ ᴧ x₂ (x₁ i x₂) inazwiemy iloczynem logicznym. Tabelka iloczynu logicz­nego ma postać przedstawioną na rys. 4. Podobnie jak iloczyn zdań można utworzyć iloczyn innych obiektów, np. zbiorów. Obiektami szczególnie nas interesującymi będą styki wyłączników lub styki przekaźników. Przez odpowiednie połączenie styków uzyskamy odwzorowanie poszczególnych operacji logicznych. Omówione wyżej połączenie szeregowe stanowi sieć (rys. 5) odwzorowującą operację logiczną ᴧ X₁ X₁, zwaną iloczynem logicznym lub mnożeniem logicznym.

Połączenie równoległe

Połączmy teraz dwa wyłączniki równolegle. Obwód przedstawia rys. 6. Zamknięcie wyłącznika X₁ lub wyłącznika X₂ spowoduje zaświecenie żarówki. Żarówka świeci także, gdy oba wyłączniki są zamknięte. Zachowując poprzednie oznaczenia, opiszmy działanie sieci w tabelce (rys. 7), Możemy, podobnie jak przy połączeniu szeregowym, rozważać zdania. Zauważmy jednak, że spójnik - LUB - w języku potocznym ma czasem inne znaczenie!
Spójnik lub logicy zastąpili symbolem V .
Wyrażenie mające postać X₁ V X₂  (X₁ lub X₂) nazywamy sumą logiczną. Tabelkę sumy logicznej przedstawiono na rys. 8. Połączenie równoległe stanowi sieć odwzorowującą operację logiczną X₁ V X₂, zwaną sumą logiczną (rys. 9).
Do budowy iloczynu logicznego, jak i sumy logicznej, można użyć wielu wyłączników. Otrzymamy wtedy odwzorowanie wieloczłonowego iloczynu albo wieloczłonowej sumy, co obrazuje rys. 10.

Przekaźnik

Przekaźnik jest elementem, który składa się z elektromagnesu działającego na ruchomą zworę i zespołu styków sterowanych ruchem zwory. Rys. 11 a ujmuje schematycznie działanie przekaźnika. Rys 11 b. przedstawia rodzaje styków oraz ich schematyczne symbole w sieciach elektrycznych. Kiedy końcówki cewki elektromagnesu przyłączymy do źródła napięcia, powstaje siła elektromagnetyczna przyciągająca zworę. Poruszająca się zwora rozwiera lub zwiera styki. Po odłączeniu napięcia zwora pod działaniem sprężyny powraca do pozycji spoczynkowej, zwalniając styki. Styki bierne są zamknięte dopóty, dopóki elektromagnes przekaźnika nie znajduje się pod napięciem, natomiast styki czynne są wtedy otwarte. I na odwrót -styki czynne są zamknięte dopóty, dopóki elektromagnes przekaźnika znajduje się pod napięciem, natomiast styki bierne są wtedy otwarte.

Przekaźnik przekształca więc sygnał napięciowy w sygnał mechaniczny. Sygnał mechaniczny uruchamia połączenia stykowe, co z kolei umożliwia odzyskanie sygnału napięciowego. Widzimy, że przekaźnik różni się od zwykłego włącznika, bądź przełącznika, jedynie sposobem sterowania.

Obwód cewki elektromagnesu przekaźnika nazywamy obwodem sterującym. Obwód współpracujący ze stykami przekaźnika nazywamy obwodem wykonawczym. Ważną cechą przekaźnika jest elektryczne oddzielenie obwodu sterującego od obwodu wykonawczego. Powoduje to niemożność oddziaływania sygnałów wykonawczych na sygnały sterujące pracę przekaźnika.

Operacja negacji

Oprócz poznanych operacji iloczynu i sumy logicznej często występuje operacja nazywana negacją. W języku potocznym taką operację symbolizuje stwierdzenie - nieprawda, albo też krótkie - nie. Weźmy zdanie: ,,Pies jest zwierzęciem” - zdanie prawdziwe. Operacja negacji na takim zdaniu polega na dodaniu wyrażenia - nieprawda. Powyższe zdanie zanegowane brzmi: „Nieprawda, że pies jest zwierzęciem”. Jest to zdanie fałszywe o wartości logicznej 0.

Zanegowanie prawdy daje fałsz!

Weźmy drugie zdanie: „Pies jest rośliną” - zdanie fałszywe. Zanegujmy to zdanie: „Nieprawda, że pies jest rośliną” - zdanie prawdziwe o wartości logicznej 1.

Zanegowanie fałszu daje prawdę!

W logice dla oznaczenia negacji używamy symbolu albo równie często symbolu ' np. 1' - nieprawda, że 1, 0' - nieprawda, że 0. Jeżeli rozpatrujemy obiekty 0 i 1, to operacja negacji daje się ująć w tabelkę przedstawioną na rys. 12.

Żeby zanegować sygnał, należy zbudować taki obwód, który dla napięcia zero przyłożonego na wejście obwodu Ja na wyjściu obwodu napięcie odpowiadające wartości jeden. I odwrotnie - dla wartości napięcia na wejściu - jeden, na wyjściu pojawi się napięcie zero. Zbudowanie takiego obwodu umożliwia użycie przekaźnika z parą styków biernych (rys. 13). Na rysunku symbolem P oznaczono przekaźnik. Jeżeli na zaciskach cewki przekaźnika brak jest napięcia, x=0, to żarówka świeci. Jeżeli na zaciski cewki przyłożymy napięcie zasilające, x = U_z = 1, to przekaźnik rozwiera obwód i żarówka nie świeci.

Właśnie takie sytuacje opisuje tabelka negacji:

1' daje 0.

0' daje 1.

Zwróćmy uwagę, że nic budujemy sieci będącej samej w sobie negacją, ale negujemy sygnał, który być może jest otrzymany z jakiejś ‘sieci! Możemy negować istniejącą sieć - możemy budować negację będącą negacją danej sieci. (Wypowiedzenie samego słowa - nieprawda, bez odniesienia do czegokolwiek, nic ma żadnego sensu).

Rys. 14 przedstawia sieć złożoną z jednego wyłącznika oraz jej negację. Zanegowanie tej sieci polega na zamianie styków zwianych stykami rozwianymi:

Spośród różnorodnych sieci wyróżniamy dwie:

1. Sieć stale zamkniętą (zwykły przewodnik) - rys. 15a.

2. Sieć stale otwartą (przerwany obwód) - rys. 15b.

Wcześniej poznane sieci miały dwa możliwe stany: stan przewodzenia (ozn. 1) i stan nieprzewodzenia (ozn. 0). Sieci wyróżnione na rys. 15 charakteryzują się jednym stałym stanem. Sieć stale zamknięta ma ciągle stan I, sieć stale otwarta - stan ().

Połączenie szeregowe i połączenie równoległe umożliwiają budowanie sieci bardziej złożonych. Poniżej podajemy wzory (prawa) obowiązujące przy konstruowaniu sieci (rys. 16). Podajemy też. przykłady sieci ilustrujące niektóre z podanych wzorów (rys. 17).

Jak łatwo zauważyć, umiejętne stosowanie wzorów pozwala niekiedy upraszczać budowane sieci, przy zachowaniu pełnionych przez te sieci funkcji. Jednocześnie widać, że dwie sieci pełniące identyczne funkcje mogą być zupełnie inaczej zbudowane pod względem elektrycznym, czego oczywistym przykładem jest rys. 17.

Potrzeba analizy pracy danej sieci, jak leż równoważność działaniu różniących się elektrycznie sieci prowadzą do konieczności przyjęcia jakiejś ogólnej metody sprawdzania pracy budowanych sieci. Najczęściej spotykaną metodą analizowania pracy sieci jest metoda zerojedynkowa.

Jeżeli umiemy opisać (zaprojektować) sieć za pomocą wyrażeń logicznych, to nic zachodzi potrzeba próbnego budowania układów elektrycznych. Nabycie chociażby elementarnych umiejętności w tym zakresie znakomicie ułatwia wszelkie prace konstruktorskie.

Pragniemy tutaj polecić chętnym wykonanie kilku prostych ćwiczeń, np. narysowanie i przeanalizowanie wszystkich schematów sieci odpowiadających podanym wzorom. Dla sprawdzenia poprawności proponujemy metodę zero-jedynkową. Oto jej przykład.

Weźmy sieci odpowiadające wyrażeniom: (x₁ V x₂) ᴧ x₃  oraz (x₁ ᴧ x₃) V (x₂ ᴧ x₃)

Wzór 7 z rys. 16 mówi nam, że oba te wyrażenia są identyczne tzn. (x₁ V x₂) ᴧ x₃  oraz (x₁ ᴧ x₃) V (x₂ ᴧ x₃)

Sieci odpowiadające tym wyrażeniom przedstawia rys. 17f. Ponieważ wartości x mogą być 0 albo 1, co odpowiada otwarciu, bądź zamknięciu wyłącznika oznaczonego przez x, to wystarczy skonstruować i wypełnić odpowiednią tabelkę (rys. 18). Symbole x₁, x₂, x₃ w tabelce oznaczają poszczególne wyłącz­niki. Ciągi zero-jedynkowe, znajdujące się bezpo­średnio pod nimi, oznaczają wszystkie możliwe kombinacje położeń (stanów) tych wyłączników. W kolumnach pod wyrażeniami wykonano obliczenia wartości logicznych wyrażeń, w zależności od przyjętych stanów wyłączników. Przez Y₁ i Y₂ oznaczono wartości logiczne całych wyrażeń. Widzimy, że dla jednakowych stanów wyłączników X₁, X₂, X₃ dla obu wyrażeń (dla ciągu zero-jedytikowego), wartości logiczne obydwu rozważanych wyrażeń są sobie równe, co znaczy, że wyrażenia są identyczne albo lepiej - równoważne. Ponieważ sieci z rys. 17f ściśle odwzorowują te wyrażenia, to mamy prawo wnioskować, że praca tych sieci niczym się nie różni - możemy z powodzeniem zastąpić jedną sieć przez drugą. Na ogół stosuje się sieci o możliwie małej liczbie styków, co obniża koszty.

Projektując dowolną sieć pamiętajmy, że wyłączniki występujące w sieci należy przedstawiać w sposób jednoznaczny. Wszystkie styki oznaczone symbolem x będą na schemacie otwarte, a styki oznaczone symbolem x będą na rym schemacie zamknięte. Styki wielokrotne, należące do tego samego wyłącznika, oznaczamy takim samym indeksem. Dla przykładu odwzorujmy w sieci wyrażenie (x₁ ᴧ x₂) V (x₁ ᴧ x₂ ᴧ x₃) (rys. 19). Do budowy sieci opisanej powyższym wyrażeniem należy użyć trzech wyłączników: wyłącznika X₁ o dwóch parach styków zwiernych wyłącznika X₂ o dwóch parach styków - jednej zwiernej i drugiej rozwiernej, oraz wyłącznika X₃ o jednej parze styków zwiernych.

Jako ćwiczenie praktyczne proponujemy rozwią­zanie następującego problemu logicznego:

Przed kilkoma miesiącami prasa codzienna do­niosła, że jeden z francuskich klubów piłkarskich zamierza wypróbować nową metodę sędziowania na meczach piłki nożnej. Jednego sędziego głównego miało zastąpić aż trzech sędziów głównych, którzy obserwowaliby mecz spoza boiska, za pomocą specjalnej aparatury. Każdy z sędziów dysponowałby przyciskiem (wyłącznikiem). Kiedy którykolwiek z sędziów zdecydowałby się na interwencję, wtedy zamiast używania gwizdka naciskałby swój przycisk. Dopiero jednoczesna interwencja dwóch lub trzech sędziów spowodowałaby przerwę w meczu, przez uruchomienie gwizdka na stadionie. Interwencja tylko jednego z sędziów byłaby bezskuteczna.

Inżynierowie francuscy przygotowali odpowiednią aparaturę. Jednym z problemów było zapewne zbudowanie odpowiedniej sieci logicznej. Kto spośród Czytelników samodzielnie rozwiąże ten problem, będzie mógł uznać, że jest dostatecznie przygotowany do projektowania sieci logicznych pracujących w uproszczonych maszynach matematycznych. Tego rodzaju próby podejmiemy w kolejnych odcinkach, a tymczasem zajmiemy się nieco innym wykorzystaniem właściwości podstawowych operacji logicznych.

Zamek elektromechaniczny

Zaprojektujmy i zbudujmy zamek, który otwierać się będzie nie za pomocą zwykłego klucza, ale przez zastosowanie szyfru. Nie chodzi tu o ochronę przed ludźmi żądnymi cudzej własności, lecz raczej o przyjemną rozrywkę.

Jak wiadomo, zamek jest tym lepszy, im trudniej osobie niepowołanej ten zamek otworzyć. Nic nie stoi na przeszkodzie, by zbudować zamek, który trudniej jest otworzyć, niż np. trafić szóstkę w Toto-Lotku. My poprzestaniemy na skromniejszym rozwiązaniu. Do budowy zamka wykorzystamy właściwości iloczynu logicznego. Schemat elektryczny zamka przedstawia rys. 20. Jego zasadniczymi elementami są obrotowe, wielopozycyjne przełączniki - P, stosowane w głośnikach radiowęzłowych (14 zł za sztukę). Zarówno typ przełącznika, jak ilość przełączników są dowolne.

Stosując przełączniki o dużej ilości położeń uzyskamy zmniejszenie możliwości przypadkowego otwarcia zamka. Szansa przypadkowego otwarcia zamka maleje jeszcze szybciej, gdy zwiększamy ilość przełączników. Obliczenie wszystkich możliwych i różnych położeń przełączników pozostawiamy chętnym Czytelnikom - jest to jeden z prostych problemów kombinatorycznych. Układ elektryczny zamka zbudowanego z dziewięciu przełączników o siedmiu położeniach tworzy szyfr, który trudniej ,,złamać” (i to znacznie) niż trafić szóstkę w Toto­lotku.

Układ z rys. 20 może także posłużyć do zabezpieczenia samochodu przed kradzieżą. Wystarczy w tym celu włączyć sieć zbudowaną z przełączników w obwód prądowy cewki zapłonowej samochodu. Uruchomienie pojazdu wymaga ustawienia szyfru: przed opuszczeniem pojazdu zmieniamy pozycje poszczególnych przełączników. Tego rodzaju zabezpieczenie jest znacznie skuteczniejsze od wszelkiego rodzaju metalowych lasek zakładanych na kierownicę, ukrytych dodatkowych wyłączników, alarmów dźwiękowych itp. rozwiązań. (Orientacyjny czas planowego „łamania” szyfru - około 7 godzin).

Na rys. 21 przedstawiono schemat zamka umożliwiającego dowolny wybór szyfru, każdorazowo przed zamknięciem zamka. Podobne rozwiązania spotyka się w automatach bagażowych. Ola przej­rzystości rysunku pokazano tylko trzy pary przełączników o czterech położeniach każdy. W rozwiązaniach praktycznych stosuje się cztery do sześciu par przełączników, z których każdy ma dziesięć do szesnastu położeń. Zespół przełączników PI, PII, PIII, służący do szyfrowania, znajduje się we wnętrzu schowka. Po wrzuceniu monety do automatu zamek szyfrujemy i zatrzaskujemy drzwiczki skrytki. Podczas odbioru bagażu, pokrętłami przełączników P1, P2, P3; znajdujących się na zewnątrz schowka, nastawiamy wybrany uprzednio szyfr. W momencie nastawienia szyfru elektromagnes zwalnia rygiel i drzwiczki skrytki samoczynnie się otwierają.

Włodzimierz Augustyniak